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Maîtrise MIM 2001-2002: Théorie des Probabilités

Université de Nice - Sophia Antipolis
Maîtrise MIM 2001-2002: Probabilités (1er sem.)

Notes de cours et exercices, examens et corrigés

I: des moments au théorème de la limite centrale en passant par les fonctions caractéristiques.

1 (4 pages): moments, cumulants, lois normales, limite centrale.

2 (4 pages): fonctions caractéristiques, formules d'inversion, théorème d'unicité, exemples.

3 (4 pages): fonctions de répartitions, intégrales de Stieltjes, convergence en loi, théorème de Lévy.

4 (4 pages): théorème de la limite centrale, loi des grands nombres, retour sur la méthode des moments et des cumulants.

(2 pages): un théorème de la limite centrale sans l'hypothèse d'équidistribution, critère de Lyapounov-Markov.

II: de l'indépendance à l'espérance conditionnelle selon Kolmogorov, en passant par les mesures-produits, les espaces L2, les projections orthogonales, les sous-tribus.

5 (7+1 pages): vecteurs aléatoires, lois jointes, lois marginales; énoncés principaux relatifs aux mesures-produits (finis); indépendance, schéma de Bernoulli, variables aléatoires indépendantes en nombre infini. En page 8: une preuve que « absence d'atome » équivaut à « existence d'un schéma de Bernoulli (ou d'une variable uniforme) ».

6 (8 pages): espaces euclidiens, bases orthonormées, projections orthogonales, gramiens, gram-schmidt, dimension infinie, espaces de Hilbert, espaces L2 et théorème de Riesz-Fischer.

7 (6 pages): régression linéaire: définition, formules, vecteurs aléatoires, mise à jour; espérance conditionnelle par rapport à une ou plusieurs variables aléatoires (en tant que projection orthogonale).

8 et 9 (10 pages): espérance conditionnelle (I): conditionnement sur un évènement, sur une partition finie, sur une variable aléatoire, meilleure approximation au sens des moindres carrés, courbe et droite de régression; (II) sous-tribus et intégration, l'espérance conditionnelle comme projection orthogonale, cas général (théorème de Kolmogorov.)

III: le processus de Poisson, un exemple de processus stochastique.

10 et 11 (10 pages): vecteurs aléatoires, lois conditionnelles, désintégration radioactive et loi exponentielle, échantillon fini, processus de comptage; Le processus de Poisson, théorème de remise à zéro, indépendance et stationnarité des accroissements, propriété de Markov, répartition conditionnelle uniforme.




Sujet de partiel de mi-semestre et son corrigé
Devoir à la maison et son corrigé
Examen et son corrigé

Version du 4 février 2002 (74 pages)
© J.-F. Burnol, 2001-2002.

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