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Université de Nice - Sophia Antipolis

Maîtrise MIM 2000-2001: Probabilités et Statistiques (1er sem.)

Notes de cours et exercices, examens et corrigés

 

(1) Espaces probabilisés: tribus, mesures, variables aléatoires. Espérance et variance. Indépendance. Moments, cumulants, fonction caractéristique.

(2) Classes de fonctions mesurables. Espaces L1 et L2. Espaces de Hilbert. Projections orthogonales, Matrices de Gram. Régression, mise à jour d'une estimation.

(3) Inégalité de Tchebychev et « Théorème d'or » de Jacques Bernoulli. Convergence en loi, théorème de Lévy-Bochner. Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale. Note Historique et loi forte des grands nombres.

(4) Autour des théorèmes classiques: variables aléatoires à valeurs dans N, lois binomiales, lois de Poisson, limite de Poisson. Exemples et applications. Loi de Cauchy. Schéma de Bernoulli.

(5) Espérance conditionnelle (I): conditionnement sur un évènement, sur une partition finie, sur une variable aléatoire. Propriété de meilleure approximation au sens des moindres carrés. Courbe et Droite de régression.

(6) Espérance conditionnelle (II). Sous-tribus et Intégration, l'espérance conditionnelle comme projection orthogonale. Le cas général (théorème de Kolmogorov.) Probabilité conditionnelle et variance conditionnelle.

(7) Vecteurs aléatoires. Lois conditionnelles. Désintégration radioactive et loi exponentielle. Le cas d'un échantillon fini. Processus de comptage.

(8) Le Processus de Poisson. Théorème de remise à zéro. Indépendance et stationnarité des accroissements. Propriété de Markov. Répartition conditionnelle uniforme.

(9) Vecteurs gaussiens. Indépendance et Espérance conditionnelle dans le cadre gaussien. Processus Gaussiens. Processus de Wiener.

(10) Quelques propriétés du processus de Wiener (Résumé.)

 

Version du cours: 1-02-2001

Examens du 30 novembre 2000, du 11 janvier 2001 et du 31 janvier 2001 et leurs corrigés.

Examen du 17 septembre 2001 et son corrigé.

Formatage du polycopié: 6-09-2001

©J.-F. Burnol, 2001.

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