Raif Badawi
JE SUIS CHARLIE PLACE DE LA NATION 11 JANVIER 2015

merci à V. pour la photo!

Le terme master est un pur emprunt à l'anglais, d'ailleurs dénaturé. Désignant en anglais des diplômes très divers, il ne s'emploie pas seul, mais toujours complété par la précision de la discipline : master of Arts, par exemple. Prétendre que cet emprunt faciliterait la reconnaissance du diplôme au sein de l'Union européenne méconnaît totalement la diversité linguistique de l'Union. Il ne faut pas l'introduire dans le vocabulaire français et tenter de forcer ainsi la main à nos partenaires non anglophones.

Académie Française, communiqué du jeudi 28 mars 2002.

Atelier « Mathématiques » (L1, 2013/2014)


TeX612 (L3, 2013/2014)


MIAC (Arithmétique et Cryptographie, L1, 2016/2017)

Pour accéder au cours cliquez ici ou, si vous avez l'identifiant qu'il faut, allez sur Moodle (MIAC 2016-17).



MAO (Mathématiques assistées par ordinateur, M1, 2016/2017)

Ces liens nécessitent JavaScript pour être fonctionnels; à défaut vous pourrez naviguer à partir d'ici.

Ce mini-cours est destiné à des étudiants (pour la plupart) sans expérience en programmation. On y utilise Python3 pour aborder diverses questions élémentaires algorithmiques et arithmétiques.

Les quatre première feuilles de TPs avaient été conçues pour des séances de travaux pratiques d'une durée de quatre heures chacune en salle machines. Pour la seconde année (académique) le format est passé à environ huit séances de deux heures. Nous avons réutilisé ces quatre feuilles de TPs et j'en ai ajouté une cinquième. Et un deuxième examen. Et finalement un examen de rattrapage.


Master 1 enseignement (2011/12, 2012/13)

Analyse 2:


Agrégation Interne

L'UFR de mathématiques de l'Université Lille 1 assurera en 2016/2017 une préparation au concours de l'agrégation interne.

Compléments d'Algèbre-Géométrie:

Compléments d'Analyse:

(quelques entrées sont marquées par un astérisque parce qu'elles ont été rédigées en ayant à l'esprit plutôt l'agrégation externe)

Sauvetage d'un théorème du programme officiel
Continuité de la convolution avec les théorèmes du programme
Transformées de Laplace non absolument convergentes
Faire (ou pas) un flop avec le flot
Difféomorphime entre le cube (ouvert !) et la boule (ouverte !) en dimension n
Méthode de Simpson avec reste intégral
Convergence des sommes de Darboux et de Riemann
Moyennes de Cesàro et valeurs d'adhérence
Le premier théorème taubérien de Hardy
Exemples de séries doubles non absolument convergentes
Exemples de non-dérivabilité d'une réciproque
(2 pages; avec de jolis graphes d'un généreux contributeur)
Dérivabilité de la fonction réciproque
(2 pages; une hypothèse ponctuelle suffit-elle? (non))
Théorème de Mertens
(2 pages; sur les produits de Cauchy)
Chambouler la série de log(2)
(2 pages; comment faire converger vers toute valeur donnée la série semi-convergente de log(2))
Irrationalité de π2
(8 pages; l'irrationalité de π2 par une démarche motivée et élémentaire accessible au niveau L1, et qui rejoint l'approche originelle de Lambert si l'on s'autorise un niveau mathématique plus élevé.)
Dirichlet, Fourier, Plancherel
(16 pages; transformation de Fourier, formules d'inversions, formule de Plancherel, formule de Lévy: tout cela avec l'intégrale de Riemann, et sans savoir faire d'interversions d'intégrales. Voir aussi cette fiche d'exercices.)
(*) Les limites d'une suite vérifiant xn+m ≤ max(xn, xm)
(pour devenir expert en valeurs d'adhérence et autres limsup et liminf)
(*) Suites d'intégrales
(de la convergence presque partout à la convergence Lp)
Sur les moyennes de puissances
(en bref, avec illustration graphique)
L'inégalité de Kedlaya
Quelques aspects de la convexité
(pour les fonctions d'une variable réelle)
(*) Cesàro comme interversion de limites
Convergence simple mais nulle part uniforme pour une suite de fonctions continues
Encadrements de sin(x)/x
Un exposé sur les normes lp
(principalement sur les espaces Rn...)
Asymptotique des séries «de Riemann» et formule de Stirling
(par diverses méthodes dont une avec polynômes de Bernoulli et formule d'Euler-MacLaurin)
Autour du théorème des valeurs intermédiaires
(théorème de Darboux, exemple de Lebesgue, cardinaux)
Trois applications du théorème de Baire
(2 pages; contient une preuve du théorème en question et trois applications standards)
Petit traité pas si compact sur les compacts
(12 pages; les énoncés sont souvent accompagnés de plusieurs preuves et donnent un panorama assez complet de la compacité dans les espaces métriques et en particulier pour les parties des Rn)
Compacité et Borel-Lebesgue (en bref)
(2 pages; contient en particulier l'équivalence entre la compacité séquentielle et la compacité au sens des recouvrements pour les espaces métriques)
Asymptotique de certaines séries et intégrales
(variations sur l'equidistribution à la Weyl avec beaucoup de sommations d'Abel)
Théorème de Tauber pour les séries et les intégrales
(transformées de Laplace)
Seconde formule de la moyenne
(et transformées de Laplace)
Calcul de la gaussienne et Fubini
(diverses méthodes lorsque l'on a à sa disposition seulement l'intégrale de Riemann)
Convergence dominée pour les fonctions intégrables au sens (généralisé) de Riemann
Formules de L'Hospital
Formules de Taylor
Dérivabilité et Taylor-Young
Théorème de Clairaut-Schwarz
Exponentielle complexe et nombre Pi
Logarithme et exponentielle
Formule d'inversion de Lagrange
(quelques aspects)
Intégrale elliptique de Gauss
Un exercice sur les fonctions convexes, et limites supérieures et inférieures en bref
Un lemme de suite extraite

Intégrale de Riemann (L1 à M)

Petit speech préliminaire mis à jour en septembre 2010 (je dis la même chose mais autrement, pour varier un peu):

L'intégrale de Riemann se définit en quelques lignes, une fois connue les notions de bornes supérieures et inférieures. On pourrait même dire que du point de vue pédagogique, c'est l'une des plus jolies illustrations de l'utilité de ces notions et de celle de la limite. On pourra se reporter par exemple à ces notes, qui définissent l'intégrale et prouvent ses propriétés de base. Je suis souvent très stupéfait de rencontrer de nombreux collègues qui surestiment totalement la difficulté de la présentation de l'intégrale de Riemann, comme par exemple dans la question «mais comment fais-tu pour montrer qu'une fonction continue est intégrable, sans montrer qu'elle est uniformément continue?». Eh bien, mon Général, la réponse est que je démontre d'abord que la fonction est intégrable et ensuite je recycle la preuve pour montrer la continuité uniforme, qui s'en trouve du coup grandement motivée (et j'irai même jusqu'à dire que l'on peut découvrir ainsi la compacité séquentielle ou au sens des recouvrements des intervalles [a,b]). Et il faut faire tout cela à Bac+1!. Sinon que signifie «supérieur» dans «enseignement supérieur»?

L'autre grand intérêt était (avant qu'on n'arrête de faire faire aux élèves et aux étudiants des démonstrations) de n'avoir comme outil immédiat que la convergence uniforme. Cet outil n'est pas extrêmement puissant et oblige à des découpages, en tout cas dès que l'on travaille sur un intervalle infini. Du coup les gens étaient obligés de faire des démonstrations, d'écrire des majorations concrètes, de manipuler des inégalités, etc.... Évidemment cela a déplu. Donc, et le mouvement est venu des classes préparatoires qui font l'alpha et l'omega dans l'enseignement supérieur de ce pays, on s'est dit que cela vaudrait mieux que les étudiants se contentent d'appliquer bêtement une règle totalement pré-formatée, et donc on leur a dit de faire de la convergence dominée. Mais on n'a pas fait pour autant l'intégrale de Lebesgue!

Je propose deux démonstrations du Théorème de la convergence dominée en restant dans le cadre des fonctions intégrables au sens de Riemann: version de février 2012 et version de novembre 2009. Ces preuves:

Récapitulatif des fichiers disponibles:

  1. Intégrale de Riemann: définition, sommes de Riemann, propriétés de base (bac+1). Avec la reproduction du texte de Riemann relatif à cette définition (en traduction).
  2. Monotonie stricte de l'intégrale: un énoncé qui aurait dû faire partie du polycopié précédent. (nouveau 2016 !)
  3. Intégrale de Riemann: contient l'intégralité du document précédent et y ajoute la Caractérisation par Riemann et Lebesgue des fonctions intégrables au sens de Riemann (niveau bac+2½). Contient également l'original en allemand des définitions et théorèmes de Riemann à ce sujet.
  4. Théorème de la convergence dominée pour les fonctions intégrables au sens de Riemann (bac+2), avec l'exemple d'un ouvert dont la fonction indicatrice n'est pas intégrable au sens de Riemann (niveau bac+2½).
  5. Encore le Théorème de la convergence dominée, sous une forme nettement plus forte que celle prouvée dans le manuscrit précédent.
  6. Convergences dominée et monotone une fois connue l'existence de la mesure de Lebesgue (bac+3).

Analyse complexe (Licence 3)

Deux cours sur les Fonctions d'une Variable Complexe:

Exercices et examens:

Le produit infini de Euler pour sin(z).


Séries de Fourier, espaces de Hilbert, mesure et intégration (Licence 3)

L'objectif de ce cours (deuxième semestre de la troisième année) était de développer les notions liées au théorème de Riesz-Fischer et à l'égalité de Fatou-Parseval pour les séries de Fourier. Il s'agissait donc également d'un cours servant d'introduction aux espaces de Hilbert et d'approfondissement en théorie de la mesure et de l'intégration (au premier semestre, un module "Mesure et intégrale de Lebesgue" était censé avoir été suivi par les étudiants).

Résumé du cours 2006/2007 à mi-parcours.

Exercices et examens:

Divers: Théorème de Dirichlet, Fonction triangle.

Un polycopié comportant dix-sept annexes (cf. ci-dessous) apporte des compléments en théorie de la mesure et pourra servir de préparation au niveau M1. La première annexe est particulière, en cela qu'elle constitue un exposé sur l'intégrale de Riemann, accessible pour une large part dès les niveaux L1 et L2.

Annexes
Titre et lien Description
Tous les compléments 88 pages.
Intégrale de Riemann 24 pages. À l'origine, la construction et les propriétés de l'intégrale de Riemann pour un cours de premier cycle; on y a ajouté une preuve du théorème (de Lebesgue) qui caractérise les fonctions R-intégrables, et une discussion des fonctions réglées. Nouveau! (nov 09): on reproduit des extraits du Mémoire de Riemann (1854, parution posthume en 1867), avec leur traduction, où est définie son intégrale, et est donnée une caractérisation des fonctions intégrables en son sens. Également inclus, le texte de Riemann sur les séries semi-convergentes.
Convergences dominée et monotone 6 pages. Discussion et preuve des théorèmes de convergence de Lebesgue.
Riesz-Fischer 2 pages. On prouve que toute suite indexée par Z et de carré sommable est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction 2π-périodique de carré intégrable.
Résumé du cours (I) 6 pages. Fait référence en particulier: aux formules de Fourier, à la notion de convolution, aux noyaux de Dirichlet et de Fejér, au Lemme de Riemann-Lebesgue, au théorème de convergence simple sous les conditions de Dirichlet, à l'inégalité de Bessel, à Cauchy-Schwarz et à la norme L2, à la densité L1 (et L2) des fonctions en escalier, au théorème de Fejér pour les fonctions continues, à l'égalité de Bessel-Parseval et au théorème de convergence au sens L2, au théorème de continuité des translations, au théorème de Fejér au sens L1, au théorème d'unicité, et au théorème de Riesz-Fischer.
L1 et L2 sont complets 2 pages. Parle d'espaces de Banach et d'espaces de Hilbert et prouve que L1(0,2π;dx) est complet.
Espaces Lp 4 pages. Définition des espaces Lp, inégalités de Hölder et de Minkowski, preuve que les espaces Lp sont complets. Inclusions topologiques des Lp.
Fréchet-Riesz 2 pages. Définit le dual d'un espace vectoriel normé et détermine les formes linéaires continues sur un espace de Hilbert.
Dualité des espaces Lp 6 pages. Prouve que le dual de Lp est Lq, pour tout 1<p<∞, parle en passant de projection sur un sous-espace fermé (preuve pour p≥2 et évocation de l'inégalité de Hanner pour p≤2).
Hellinger-Toeplitz-Landau-Riesz 2 pages. Si fg est L1 pour toute f dans Lp alors g est Lq.
Points de Lebesgue 2 pages. Définit la notion de point de Lebesgue d'une fontion intégrable et prouve que presque tout point est un point de Lebesgue.
Fejér presque partout 2 pages. Prouve la convergence presque partout des sommes de Fejér pour une fonction intégrable.
Mesures Complexes 4 pages. Définit la notion de mesure complexe et prouve l'existence de la mesure positive finie "de ses variations" qui lui est associée. Prouve la décomposition de Hahn-Jordan pour les mesures signées et, dans le cas complexe général, prouve que la mesure a une densité de module 1 par rapport à sa mesure des variations.
Variation Bornée et Dirichlet-Jordan 10 pages. Définit la notion de variation bornée pour une fonction sur un intervalle réel, et explique et prouve le lien avec les mesures complexes. Discute de différentes formes de la deuxième formule de la moyenne et donne deux preuves du théorème de Dirichlet-Jordan. (voir la version 2007 théorème de Dirichlet pour un traitement moins exhaustif et beaucoup plus facile à lire).
Continuité absolue et Radon-Nikodym 2 pages. Définit la notion de continuité absolue pour les fonctions sur un intervalle réel, prouve le théorème de Radon-Nikodym pour les mesures complexes sur un espace mesuré fini, en déduit que les fonctions absolument continues sont les "primitives" des fonctions Lebesgue-intégrables.
Phénomène de Gibbs 6 pages. Discute, graphes et preuves à l'appui, du phénomène en question.
Cantor-Lebesgue et Denjoy-Lusin 2 pages. Les théorèmes du même nom.
Familles Sommables 4 pages. Familles sommables.

Espaces de Hardy et factorisation (Master 2; ex-DEA)

Polycopié (60 pages). Mots-clés: Espaces de Hardy, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein et de Wold. Théorème de convolution de Titchmarsh. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Krein sur les fonctions entières.

Ce cours n'est qu'une première introduction à ce merveilleux chapitre de la Théorie des Fonctions, à la confluence de bien des domaines.


Mathématiques de la première année (Licence 1; ex-DEUG)

2003/2004: Polycopié avec exercices et examens (84 pages).

2002/2003: Fiches de cours (70 pages). Sujets d'examens et corrigés.

Je remercie Stephan de Bièvre, dont le polycopié servait de base commune aux sections du premier semestre, et aussi pour une partie du cours de deuxième semestre.


Théorie des probabilités (Master 1; ex-maîtrise MIM)

Un grand merci à Bernard Candelpergher et à Michel Miniconi pour leur efficace collaboration tout au long du semestre, les deux années, sur ce cours. Les deux polycopiés ne se recoupent que partiellement.


Université de Nice - Sophia Antipolis
Maîtrise MIM 2000-2001: Probabilités et Statistiques (1er sem.)

Site du polycopié (78 pages). Cours, 263 exercices, examens et corrigés.


Université de Nice - Sophia Antipolis
Maîtrise MIM 2001-2002: Probabilités (1er sem.)

Site du polycopié (74 pages). Cours, 236 exercices, sujets et corrigés d'examens.

I: des moments au théorème de la limite centrale en passant par les fonctions caractéristiques.

II: de l'indépendance à l'espérance conditionnelle selon Kolmogorov, en passant par les mesures-produits, les espaces L2, les projections orthogonales, les sous-tribus.

III: le processus de Poisson, un exemple de processus stochastique.


Probabilités pour la 2e année (Licence 2; ex-DEUG)

2001/2002: Polycopié (44 pages; examens, exercices et un résumé du cours).

Je remercie Michel Miniconi pour notre travail en commun sur cet enseignement.

Licence 2001/2002: Remise à niveau en Probabilités. Juste huit pages avec 25 exercices pour une très succincte "remise à niveau" en théorie des probabilités, niveau Licence.


Séries temporelles (Master 1; ex-maîtrise MASS)

2000/2001: Polycopié (82 pages, avec exercices, examens et un cours sur les aspects plus théoriques).

C'est un plaisir de remercier Marc Diener qui a fait travailler les étudiants sur un logiciel spécialisé, ce qui fut très complémentaire à mon cours et à mes exercices (trop) théoriques. Les feuilles d'exercices réunies ici ne représentent donc que la moitié du travail que les étudiants ont dû accomplir en séances de travaux dirigés.

Et je remercie aussi Francine Diener et Nicolas Radulesco.


Jean-François Burnol
Université Lille 1
UFR de Mathématiques
Cité Scientifique M2
F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex
France
pour ecrire

(retour à http://jf.burnol.free.fr)

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