Compléments à mon cours «Séries de Fourier et Espaces de Hilbert » (Licence 3)

L'objectif de ce cours (deuxième semestre de la troisième année) était de développer les notions liées au théorème de Riesz-Fischer et à l'égalité de Fatou-Parseval pour les séries de Fourier. Il s'agissait donc également d'un cours servant d'introduction aux espaces de Hilbert et d'approfondissement en théorie de la mesure et de l'intégration (au premier semestre, un module "Mesure et intégrale de Lebesgue" était censé avoir été suivi par les étudiants). C'est là principalement le sujet des compléments ci-dessous, qui laissent de côté par exemple la partie du cours parlant des bases orthonormées dans les Hilbert. La plupart de ces annexes (en tout cas H-I-J-K-L-M-N et Q) peuvent être considérées comme préparant au niveau M1. L'annexe A porte sur l'intégrale de Riemann et pourra être utile aux étudiants de L2 et L3.

Annexes
Titre et lien Description
Tous les compléments 88 pages.
Intégrale de Riemann A (24 pages). À l'origine, la construction et les propriétés de l'intégrale de Riemann pour un cours de premier cycle; on y a ajouté une preuve du théorème (de Lebesgue) qui caractérise les fonctions R-intégrables, et une discussion des fonctions réglées. Nouveau! (nov 09): on reproduit des extraits du Mémoire de Riemann (1854, parution posthume en 1867), avec leur traduction, où est définie son intégrale, et est donnée une caractérisation des fonctions intégrables en son sens. Également inclus, le texte de Riemann sur les séries semi-convergentes.
Convergences dominée et monotone B (6 pages). Discussion et preuve des théorèmes de convergence de Lebesgue.
Riesz-Fischer C (2 pages). On prouve que toute suite indexée par Z et de carré sommable est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction 2π-périodique de carré intégrable.
Résumé du cours (I) D (6 pages). Fait référence en particulier: aux formules de Fourier, à la notion de convolution, aux noyaux de Dirichlet et de Fejér, au Lemme de Riemann-Lebesgue, au théorème de convergence simple sous les conditions de Dirichlet, à l'inégalité de Bessel, à Cauchy-Schwarz et à la norme L2, à la densité L1 (et L2) des fonctions en escalier, au théorème de Fejér pour les fonctions continues, à l'égalité de Bessel-Parseval et au théorème de convergence au sens L2, au théorème de continuité des translations, au théorème de Fejér au sens L1, au théorème d'unicité, et au théorème de Riesz-Fischer.
L1 et L2 sont complets E (2 pages). Parle d'espaces de Banach et d'espaces de Hilbert et prouve que L1(0,2π;dx) est complet.
Espaces Lp F (4 pages). Définition des espaces Lp, inégalités de Hölder et de Minkowski, preuve que les espaces Lp sont complets. Inclusions topologiques des Lp.
Fréchet-Riesz G (2 pages). Définit le dual d'un espace vectoriel normé et détermine les formes linéaires continues sur un espace de Hilbert.
Dualité des espaces Lp H (6 pages). Prouve que le dual de Lp est Lq, pour tout 1<p<∞, parle en passant de projection sur un sous-espace fermé (preuve pour p≥2 et évocation de l'inégalité de Hanner pour p≤2).
Hellinger-Toeplitz-Landau-Riesz I (2 pages). Si fg est L1 pour toute f dans Lp alors g est Lq.
Points de Lebesgue J (2 pages). Définit la notion de point de Lebesgue d'une fontion intégrable et prouve que presque tout point est un point de Lebesgue.
Fejér presque partout K (2 pages). Prouve la convergence presque partout des sommes de Fejér pour une fonction intégrable.
Mesures Complexes L (4 pages). Définit la notion de mesure complexe et prouve l'existence de la mesure positive finie "de ses variations" qui lui est associée. Prouve la décomposition de Hahn-Jordan pour les mesures signées et, dans le cas complexe général, prouve que la mesure a une densité de module 1 par rapport à sa mesure des variations.
Variation Bornée et Dirichlet-Jordan M (10 pages). Définit la notion de variation bornée pour une fonction sur un intervalle réel, et explique et prouve le lien avec les mesures complexes. Discute de différentes formes de la deuxième formule de la moyenne et donne deux preuves du théorème de Dirichlet-Jordan. (voir la version 2007 théorème de Dirichlet pour un traitement moins exhaustif et beaucoup plus facile à lire).
Continuité absolue et Radon-Nikodym N (2 pages). Définit la notion de continuité absolue pour les fonctions sur un intervalle réel, prouve le théorème de Radon-Nikodym pour les mesures complexes sur un espace mesuré fini, en déduit que les fonctions absolument continues sont les "primitives" des fonctions Lebesgue-intégrables.
Phénomène de Gibbs O (6 pages). Discute, graphes et preuves à l'appui, du phénomène en question.
Cantor-Lebesgue et Denjoy-Lusin P (2 pages). Les théorèmes du même nom.
Familles Sommables Q (4 pages). Familles sommables.

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