Université Lille 1
UFR de Mathématiques (année 2005-2006)

Licence de Mathématiques
Cours d'Analyse Complexe (ou Variable Complexe) pour la Licence

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Le polycopié (154 pages; année 2005/2006)

Ce cours d'analyse complexe pour la licence est divisé en quatre chapitres (table des matières et les chapitres séparément ci-dessous).

Nota bene: lors de l'année suivante j'ai rédigé un nouveau polycopié dans un style différent, plus bref. Je conseille donc d'étudier plutôt ce polycopié 2006/2007, après avoir tout de même parcouru ici les premières pages du premier chapitre. Les plus ambitieux reviendront pour le chapitre trois, presque entièrement consacré aux fonctions eulériennes (bêta et gamma). À noter aussi que l'on trouvera dans les annexes des rappels d'analyse, uniquement dans cette version de l'année 2005/2006.


Janvier 2006: il s'agit d'un cours d'Analyse Complexe, pour la troisième année de Licence Scientifique. Le contenu du polycopié correspond relativement bien au déroulement du cours, à ceci près que:

PS: (décembre 2006) Un nouveau cours dans un style plus concis a été rédigé pour l'année 2006/2007. Il présente de manière un peu différente, avec des compléments (topologie, formule de Taylor-Young, opérateur dbar), une partie de ce qui est inclus ici dans les Chapitres 1 et 2. Il apporte aussi des compléments, par exemple autour de la notion de connexité. Enfin, il contient quelques notions mentionnées ici pour l'hypothétique Chapitre 5, comme le principe de la variation de l'argument, le théorème de Rouché, celui de l'application ouverte, les formules de Lagrange et des notions sur les homographies et les automorphismes du disque et du demi-plan.



Table des matières

Premier Chapitre

(40 pages)

  1. Premiers pas
  2. Dérivabilité au sens complexe, équations de Cauchy-Riemann
  3. L'exponentielle complexe
  4. Fonctions analytiques
  5. Principe du prolongement analytique
  6. Les fonctions holomorphes sont analytiques
  7. Existence de primitives et Théorème de Cauchy-Goursat
  8. Annexes
    1. Différentiabilité
    2. Séries doubles
    3. Théorème de Dirichlet
    4. L'équation différentielle y''+y=0

Deuxième Chapitre

(37 pages)

  1. Le Logarithme complexe
  2. Ouverts étoilés et primitives
  3. Fonctions puissances et série binomiale
  4. Intégrales le long de chemins
  5. Critère d'holomorphie, limites uniformes
  6. Intégrales à paramètre complexe
  7. Annexes
    1. Interversion de séries et d'intégrales
    2. Continuité d'intégrales à paramètres
    3. Dérivabilité d'intégrales à paramètres
    4. Intégrales doubles de fonctions continues
    5. Dérivées secondes mixtes

Troisième Chapitre

(37 pages)

  1. Singularités isolées, Pôles
  2. De la Série Binomiale à la fonction Gamma (I)
  3. Formule des Compléments, Produit infini pour sinus, Nombres de Bernoulli
  4. De la Série Binomiale à la fonction Gamma (II)
  5. Convergence de la Série Binomiale
  6. Les intégrales Euleriennes
  7. Preuve de la Formule des Compléments
  8. La série hypergéométrique et un Théorème de Gauss
  9. Annexes
    1. Formule de Stirling
    2. Théorème d'Abel
    3. Critère d'Abel-Dirichlet

Quatrième Chapitre

(38 pages)

  1. Formules de Cauchy (pour un disque)
  2. Formule de la moyenne et Principe du maximum
  3. Théorème de Liouville
  4. Séries de Laurent et Résidus
  5. Invariance par homotopie
  6. Indices de lacets, variation de l'argument
  7. Le théorème des résidus avec indices
  8. Le théorème des résidus en version classique
  9. Annexes
    1. Formules de Cauchy
    2. Théorème de convergence uniforme de Weierstrass
    3. Fonctions harmoniques
    4. Sur les cycles homologiquement triviaux
    5. Ouverts simplement connexes et Théorèmes de Riemann

Notions pour un Cinquième Chapitre

  1. Calculs d'intégrales sur l'axe réel ou autres contours infinis, de transformations de Fourier
  2. Principe de la variation de l'argument, Théorème de Rouché
  3. Théorème de l'application ouverte, inversion locale, Séries de Lagrange
  4. Forme normale locale, points critiques, préservation ou multiplication des angles
  5. Quelques études de tranformations conformes entre domaines
  6. Homographies, sphère de Riemann, images de cercles, de droites, de demi-plans, de disques
  7. Détermination des automorphismes du disque unité (lemme de Schwarz), du demi-plan
  8. Ouverts simplements connexes, théorème de Riemann (cf. annexes du chapitre IV)




Jean-François Burnol
Université Lille 1
UFR de Mathématiques
Cité Scientifique M2
F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex
France

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